確率・統計

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場合の数基礎

●場合の数基礎Ⅰ(pdfファイル)

　　１．積の法則

　　　２つの事柄A,Bについて、Aの起こり方がn(A)通り、そのおのおのの  
　　　起こり方について、Bの起こり方がn(B)通りとすると、AとBがともに 
　　　起こる場合の数は、n(A)×n(B)通りとなる。                      


　　　問題１.１

　　　（１）事柄A：帽子が3種類ある。
　　　　　　事柄B：靴が4種類ある。
　　　　　　事柄C：ネクタイが5種類ある。
　　　　　　帽子と靴とネクタイを1組選ぶとすると、選び方は全部で何通りか。

　　　（２）サイコロ

　　　　　（ａ）2個の異なるサイコロを投げて得られる目の出方は何通りか。
　　　　　（ｂ）3個の異なるサイコロを投げて得られる目の出方は何通りか。

　　　（３）約数

　　　　　（ａ）36の正の約数は何個あるか。
　　　　　（ｂ）360の正の約数は何個あるか。

　　　問題１.２

　　　　図のようなn枚の花びらを一筆で書く方法は何通りあるか考察する。

　　２．和の法則

  　　２つの事柄A,Bについて、これらは同時には起こらないとする。
  　　Aの起こり方がn(A)通り、Bの起こり方がn(B)通りとすると、 
  　　AまたはBが起こる場合の数は、n(A)＋n(B)通りとなる。     

　　　問題２.１

　　　（１）事柄A：帽子が3種類ある。
　　　　　　事柄B：靴が4種類ある。
　　　　　　事柄C：ネクタイが5種類ある。
　　　　　　帽子か靴かネクタイを1種類選ぶとすると、
　　　　　　選び方は全部で何通りか。

　　　問題２.２　経路問題(場合分け)

　　　　5個の町Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，Ｅとそれらの町を結ぶ道路がある。
　　　（１）3本の道路を通り、町Ａから町Ｃへ行く方法は何通りか。
　　　（２）5個の異なる町を通り、町Ａから町Ｃへ行く方法は何通りか。

　　　問題２.３　整数の性質(場合分け)

　　　（１）2桁の整数で各桁の数字が昇順に並んでいるものは何個か。
　　　（２）3桁の整数で各桁の数字が昇順に並んでいるものは何個か。
　　　（３）4桁の整数で各桁の数字が昇順に並んでいるものは何個か。
　　　（４）2桁の整数で各桁の数字が昇順(等号も許す)に並んでいるものは
　　　　　　何個か。
　　　（５）3桁の整数で各桁の数字が昇順に並んでいるものは何個か。
　　　（６）4桁の整数で各桁の数字が昇順に並んでいるものは何個か。
　　　（７）n種類の数字(1,2,...,n)から構成されるk桁の昇順整数
　　　　　　(等号も許す)の個数をg(n,k)とする。
　　　　　　g(n,k)が満たす漸化式を求めよ。

　　　問題２.４　集合　次の関係（１）～（７）を示せ。

　　　（１）n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)
　　　（２）n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C)
    　　             　- n(A∩B) - n(B∩C) - n(C∩A) 
     　 　　　       　+ n(A∩B∩C)
　　　（３）n(A) = n(S) - n(A)
　　　（４）n(A∪B) = n(A∩B)  （ド・モルガンの法則）
   　　　   n(A∩B) = n(A∪B)  （ド・モルガンの法則）
　　　（５）n(A∩B) = n(S) - n(A) - n(B) + n(A∩B)
　　　（６）n(A∩B∩C) = n(S)
  　  　　             - n(A) - n(B) - n(C)
   　     　　         + n(A∩B) + n(B∩C) + n(C∩A)
    　        　       - n(A∩B∩C)
　　　（７）n(A∪B∪C∪D) = n(A) + n(B) + n(C) + n(D)            
  　  　                  - n(A∩B) - n(A∩C) - n(A∩D)
    　  　                - n(B∩C) - n(B∩D) - n(C∩D)  
      　  　              + n(A∩B∩C) + n(A∩B∩D) + n(A∩C∩D)
        　  　            + n(B∩C∩D)                  
          　  　          - n(A∩B∩C∩D)
　　　問題２.５

　　　（１）1以上1200以下の自然数で,2で割り切れないものは何個か。
　　　（２）1以上1200以下の自然数で,2,3で割り切れないものは何個か。
　　　（３）1以上1200以下の自然数で,2,3,5で割り切れないものは何個か。
                  
　　　問題２.６

　　　（１）１つの集合AのA,Aを表す図を書け。
　　　（２）２つの集合A,BのA∩B,A∩B,A∩B,A∩Bを表す図を書け。
　　　（３）３つの集合A,B,CのA∩B∩C,A∩B∩C,...,A∩B∩Cを表す図を書け。
　　　（４）４つの集合A,B,C,DのA∩B∩C∩D,A∩B∩C∩D,...,A∩B∩C∩Dを
　　　　　　表す図を書け。

●場合の数基礎Ⅱ(pdfファイル)

　　３．順列

　　　n個の異なるもの{1,2,3,…,n}からr個取り出し1列に並べたものを
　　　順列という。

　　　問題３.１  順列の個数

　　　問題３.２　条件付き順列

　　　（１）6個の異なるものから3個取り出し１列に並べる並べ方は何通りか。
　　　（２）1,2,3,4,5の5個の数字を1列に並べる。
　　　　　　1と2が隣接する並び方は何通りか。
　　　（３）1,2,3,4,5の5個の数字を1列に並べる。
　　　　　　1と2が離れて並ぶ並び方は何通りか。
　　　（４）1,2,3,4,5の5個の数字を1列に並べる。
　　　　　　1,2,3が隣接する並び方は何通りか。
　　　（５）1,2,3,4,5の5個の数字を1列に並べる。
　　　　　　1,3,5がこの順に並ぶものは何通りか。
　　　（６）1,2,3,4,5の5個の数字を1列に並べる。
　　　　　　1と2が両端に並ぶ並び方は何通りか。
　　　（７）1,2,3,4,5の5個の数字を1列に並べる。
　　　　　　1が2より左にある並び方は何通りか。
　　　（８）1,2,3,4,5の5個の数字を1列に並べる。
　　　　　　偶数と奇数が交互に並ぶ並び方は何通りか。

　　　問題３.３　辞書式順序

　　　（１）A,B,C,D,Eからすべての順列を構成する。
　　　　　（ａ）BDCAEは何番目になるか。
　　　　　（ｂ）61番目は何か。
　　　（２）辞書式順序で、集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}上の
　　　　　　順列549168732 の直後の順列を求めよ。
　　　（３）部分集合の辞書式順序を定義せよ。

　　　問題３.４

　　　　集合{1,2,…,n}上の順列p(1)p(2)…p(n)で、左から右方向に順列を
　　　　見ていき、それまでの最小数に○をつける操作をする。
　　　　たとえば、順列３２５１４では、③②５①４となる。
　　　　このとき、要素1がk番目の○をつけられる順列の個数f(n,k)を考察する。

　　　（１）n=1,2,3について、f(n,k)の表を完成せよ。
　　　（２）n=4の場合、条件を満たす順列の個数を求めよ。
　　　（３）f(n,k),f(n-1,k),f(n-1,k-1)について、関係式を導け。

　　　問題３.５

　　　　集合{1,2,…,n}上の順列p(1)p(2)…p(n)で、p(1)<…p(k+1)>…>p(n)を満たす順列の個数を考察する。
　　　　n=9の場合、条件を満たす順列は何個か。

　　４．重複順列

　　　n個の異なるものから{1,2,3,…,n}重複を許してr個取り出し、
　　　１列に並べたものを重複順列という。

　　　問題４.１　重複順列の個数

　　　問題４.２

　　　（１）6個の異なるものから重複を許して3個取り出し１列に
     　　　 並べた重複順列の個数を求めよ。
　　　（２）0,1,2,3,4,5の6個数字から重複を許して、3個の数字を
     　　　 取り出すとき、3桁の整数を何個作れるか。

　　５．同じものを含む順列

　　　aがp個、bがq個、cがr個あるとき、これらp+q+r個を１列に並べたものを
　　　同じものを含む順列という。

　　　問題５.１　同じものを含む順列の個数

　　　問題５.２
　　　（１）aが2個、bが2個、cが2個あるとき、2+2+2個を
     　　　 1列に並べる並べ方は、何通りか。
　　　（２）aが2個、bが3個、cが2個あるとき、2+3+2個を
　　　　　　1列に並べる並べ方は、何通りか。
　　　（３）aが2個、bが3個、cが4個あるとき、2+3+4個を
　　　　　　1列に並べる並べ方は、何通りか。
　　　（４）a,a,b,c から3個を１列に並べる並べ方は何通りか。
　　　（５）a,a,b,b,c,d から4個を１列に並べる並べ方は何通りか。
　　　（６）aが3個、bが1個、cが1個とする。4個取り出し、並べる並べ方を
　　　　　　求めよ。

　　　問題５.３

　　　　1が5個、2が4個、3が3個とする。
　　　　5個取り出し、並べる並べ方は何通りか。

●場合の数基礎Ⅲ(pdfファイル)

　　６．組合せ      

　　　n種類の異なるもの{1,2,3,…,n}からr個取出し、並べる順序を考えない
　　　1組を組合せという。

　　　問題６.１　組合せ

　　　問題６.２

　　　（１）6個の異なるものから3個取り出した１組の個数は、何個か。
　　　（２）4個の異なる赤玉から2個、5個の異なる白玉から3個選ぶ
　　　　　　選び方は何通りか。
　　　（３）4個の異なる赤玉と5個の異なる白玉から4個選ぶとき、
　　　　　　赤玉を2個以上選ぶ選び方は何通りか。
　　　（４）6個の異なる赤玉を3個入る箱Aと3個入る箱Bに分ける方法は
　　　　　　何通りか。
    　　  （注意）箱A,Bは区別する。　　
　　　（５）6個の異なる赤玉を3個入る箱と3個入る箱に分ける方法は何通りか。
     　　 （注意）箱は区別しない。
　　　（６）9個の異なる赤玉を3個入る箱A、3個入る箱B、3個入る箱Cに
　　　　　　分ける方法は何通りか。
      　　（注意）箱A,B,Cは区別する。
　　　（７）9個の異なる赤玉を3個入る箱、3箱に分ける方法は何通りか。
     　　 （注意）箱は区別しない。

　　　例題６.３ 二項係数C(n,r)の性質

　　　（１）n個の異なるものからr個取り出した１組の個数をC(n,r)とする。
     　　　 次の式が成り立つ。

　　　　（ａ） C(n,r) = C(n-1,r) + C(n-1,r-1)
　　　　（ｂ） C(n,r) = C(n,n-r)

　　　（２）次の式を示せ。

　　　　（ａ）(1 + x)ⁿ = C(n,0) + C(n,1)x¹ + C(n,2)x² + … + C(n,n-1)x^n-1 
                 　　  + C(n,n)xⁿ
　　　　（ｂ）2ⁿ = C(n,0) + C(n,1) + C(n,2) + … + C(n,n-1) + C(n,n)
　　　　（ｃ）0 = C(n,0) + C(n,1)(-1)¹ + C(n,2)(-1)² + … 
      　　　    + C(n,n-1)(-1)^n-1 + C(n,n)(-1)ⁿ
　　　　（ｄ）n(1 + x)^n-1 = C(n,1) + 2C(n,2)x¹ + … 
        　　　　　       + (n-1)C(n,n-1)x^n-2 + nC(n,n)x^n-1
　　　　（ｅ）n2^n-1 = C(n,1) + 2C(n,2) + … + (n-1)C(n,n-1) + nC(n,n)

　　　問題６．４　辞書式順序

　　　　集合{1,2,...,8}から4個取り出す組合せにおいて

　　　（１）３４５６は辞書式順序で何番目か。
　　　（２）辞書式順序で６６番目の組合せは何か。

　　７．重複組合せ

　　　n個の異なるもの{1,2,3,…,n}から重複を許してr個選ぶ組合せを
　　　重複組合せという。

　　　問題７.１　重複組合せ

　　　問題７.２

　　　　n(1≦n≦9)種類の文字から重複を許してr(1≦r≦9)個選ぶ選び方を
　　　　f(n,r)とする。f(n,r)を考察する。

　　　問題７．３　辞書式順序

　　　　集合{1,2,...,6}から4個取り出す重複組合せにおいて

　　　（１）３４５６は辞書式順序で何番目か。
　　　（２）辞書式順序で６６番目の重複組合せは、何か。

●場合の数基礎Ⅳ(pdfファイル)

　　問題１　楕円の分割

　　（１）ひとつの平面をn個の楕円で、いくつの領域に分割できるか考察せよ。
　　　　ただし、どの楕円も他の楕円とちょうど2点で交わり、どの3個の楕円も
　　　　1点で交わらないとする。
　　（２）ひとつの平面をn個の三角形で、いくつの領域に分割できるか
　　　　考察せよ。ただし、どの三角形も他の三角形とちょうど6点で交わり、
　　　　どの3個の辺も1点で交わらないとする。

　　問題２　

　　　　円周上に2n個の点がある。この2n個の点を互いに交わらない線分で結ぶ
　　　　方法を考察せよ。求める方法をf(n)通りとする。

　　問題３　三角形の個数

　　　　2n個の点を円周上に等間隔に置く。ただし、点はすべて区別する。
　　　　任意に3点を選ぶとき、次の個数を考察せよ。

　　　（１）鈍角三角形となる個数。
　　　（２）直角三角形となる個数。
　　　（３）鋭角三角形となる個数。

　　問題４　四角形の個数

　　　　正2n角形Ｘにおいて、4個の頂点を結んで得られる四角形は、C(2n,4)個
　　　　ある。任意に4個の頂点を選ぶとき、Ｘと辺を共有しない四角形の個数
　　　　を考察せよ。

　　問題５

　　　　凸n角形の対角線をすべて書く。どの3本の対角線も１点で交わらない
　　　　とき、次の個数を考察せよ。

　　　　（ア）凸n角形の内部の交点数。
　　　　（イ）凸n角形の外部の交点数。
　　　　（ウ）凸n角形の内部または周上で２つの点を両端に持つ辺の個数。
　　　　（エ）凸n角形内の領域の数。

　　問題６

　　　　円周上に6n個の点を等間隔に置き、この中から3点を選ぶ。    　
　　　　各点は異なるものとする。

　　　　（ア）直角三角形は何個か。
　　　　（イ）２等辺三角形は何個か。

場合の数応用

●場合の数応用Ⅰ(pdfファイル)

　　問題１　箱分け問題
　
　　　　つぎの４つの問題を考察する。

　　　（１）互いに区別できるｒ個の球を互いに区別できるｎ個の箱に
　　　　　　分ける分け方は何通りあるか。

　　　（２）互いに区別できるｒ個の球を互いに区別できないｎ個の箱に
　　　　　　分ける分け方は何通りあるか。ただし、空箱はないとする。

　　　（３）互いに区別できないｒ個の球を互いに区別できるｎ個の箱に
　　　　　　分ける分け方は何通りあるか。

　　　（４）互いに区別できないｒ個の球を互いに区別できないｎ個の箱に
　　　　　　分ける分け方は何通りあるか。

●場合の数応用Ⅱ(pdfファイル)

　　１．包除原理とは

　　２．包除原理の応用

　　　　２．１　オイラーの定理        　
　　　　２．２　乱列
　　　　２．３　第２種スターリング数　
　　　　２．４　整数解

確率の基礎　

●確率の基礎Ⅰ(pdfファイル)

　　１．確率とは

　　　問題１.１

　　　箱の中に赤玉が2個、白玉が3個入っている。箱から1個取り出すことを
　　　考える。赤玉、白玉はそれぞれ区別して考える。次の確率を求めよ。

　　　（１）「赤玉を取り出す確率」
　　　（２）「白玉を取り出す確率」

　　　問題１.２

　　　箱の中に赤玉が2個、白玉が3個入っている。箱から2個取り出すことを
　　　考える。次の確率を求めよ。

　　　（１）「赤玉を2個取り出す確率」
　　　（２）「赤玉1個、白玉1個を取り出す確率」
　　　（３）「白玉を2個取り出す確率」
　　　（４）「2個が同じ色である確率」
　　　（５）「2個の内、少なくとも1個が白玉である確率」
　　　（６）「2個の内、少なくとも1個が赤玉である確率」

　　２．確率の和の法則

　　　問題２.１

　　　　あるクラスで、

　　　　①パソコンも携帯電話も持っている生徒が20人、
　　　　②パソコンを持っているが携帯電話を持っていない生徒が25人、
   　　 ③パソコンを持っていないが携帯電話を持っている生徒が15人、
　　　　④パソコンも携帯電話も持っていない生徒が10人　

　　　　だったとする。次の確率を求めよ。

　　　（１）「パソコンをもつ確率」
　　　（２）「携帯電話をもつ確率」
　　　（３）「パソコンか携帯電話の少なくとも一方をもつ確率」

　　　問題２.２

　　　　トランプカード（ジョーカーは除く）から１枚取り出したとき、
　　　　スペードかキングの少なくとも一方が起こる確率を求めよ。

　　　問題２.３  次の確率を求めよ。

　　　（１）箱の中に赤玉が3個、白玉が5個入っている。
　　　　　「箱から2個取り出すとき、2個が同じ色である確率」。
　　　（２）箱の中に赤玉が3個、白玉が5個、青玉が7個入っている。
　　　　　「箱から2個取り出すとき、2個が同じ色である確率」
　　　（３）箱の中に赤玉が3個、白玉が4個、青玉が5個入っている。
　　　　　「箱から3個取り出すとき、3個の玉の色が2種類となる確率」

　　３．確率の乗法定理

　　　問題３.１  次の確率を考察する。

　　　　袋の中に両面赤のカード、赤白のカード、両面白のカードが入っている。

　　　●両面赤のカードが1枚、赤白のカードが1枚、両面白のカードが
　　　　1枚の場合

　　　（１）袋から1枚取りだし、テーブルに置いたとき、上面が赤である確率。
　　　（２）袋から1枚取りだし、テーブルに置いたとき、上面が赤であった。
　　　　　　下面が赤である確率。           

　　　●両面赤のカードが1枚、赤白のカードが2枚、両面白のカードが
　　　　1枚の場合

　　　（３）袋から1枚取りだし、テーブルに置いたとき、上面が赤である確率。
　　　（４）袋から1枚取りだし、テーブルに置いたとき、上面が赤であった。
　　　　　　下面が赤である確率。           

　　　●両面赤のカードがx枚、赤白のカードがy枚、両面白のカードが
　　　　z枚の場合

　　　（５）袋から1枚取りだし、テーブルに置いたとき、上面が赤である確率。
　　　（６）袋から1枚取りだし、テーブルに置いたとき、上面が赤であった。
　　　　　　下面が赤である確率。   

　　　問題３.２  次の確率を考察する。

　　　（１）2人の子供を持つ人について、次の確率を考察せよ。

　　　　（ａ）2人の子供を持つ人が何も言わないとき、
　　　　　　　2番目の子が男の子である確率を求めよ。

　　　　（ｂ）2人の子供を持つ人が、「少なくとも1人は男の子です。」と
　　　　　　　言ったとき、2番目の子が男の子である確率を求めよ。

　　　　（ｃ）2人の子供を持つ人が、「1番上の子は男の子です。」と
　　　　　　　言ったとき、2番目の子が男の子である確率を求めよ。

　　　（２）3人の子供を持つ人について、次の確率を考察せよ。

　　　　（ａ）3人の子供を持つ人が何も言わないとき、
　　　　　　　2番目の子が男の子である確率を求めよ。

　　　　（ｂ）3人の子供を持つ人が、「少なくとも1人は男の子です。」と
　　　　　　　言ったとき、2番目の子が男の子である確率を求めよ。

　　　　（ｃ）3人の子供を持つ人が、「1番上の子は男の子です。」と
　　　　　　　言ったとき、2番目の子が男の子である確率を求めよ。

　　４．問題

　　　問題４.１　くじ引き

　　　　次の確率を求めよ。

　　　●タイプＡ
　　　　5本のくじの中に2本の当たりくじがある。引いたくじは戻さない。

　　　（１）1回目も2回目も当たる確率
　　　（２）1回目に当たり、2回目ははずれる確率
　　　（３）1回目にはずれ、2回目は当たる確率
　　　（４）1回目も2回目もはずれる確率
　　　（５）2回目に当たる確率

　　　●タイプＢ
　　　　5本のくじの中に2本の当たりくじがある。引いたくじは戻す。

　　　（１）1回目も2回目も当たる確率
　　　（２）1回目に当たり、2回目ははずれる確率
　　　（３）1回目にはずれ、2回目は当たる確率
　　　（４）1回目も2回目もはずれる確率
　　　（５）2回目に当たる確率

　　　●タイプＣ
　　　　5本のくじの中に2本の当たりくじがある。引いたくじは当たりなら戻し、
　　　　はずれなら戻さないとする。

　　　（１）1回目も2回目も当たる確率
　　　（２）1回目に当たり、2回目ははずれる確率
　　　（３）1回目にはずれ、2回目は当たる確率
　　　（４）1回目も2回目もはずれる確率
　　　（５）2回目に当たる確率

　　　問題４.２　モンティ・ホールのジレンマ

　　　　解答を変更するか、そのままにするか、このジレンマを「モンティ・
　　　　ホールのジレンマ」という。

　　　（１）３択問題で、解答者が１つを選んだ後、出題者が間違っている
　　　　　　ものを１つ教えてくれる。
　　　　　　(a)解答者が解答を変更しなかった場合、正解となる確率P(3)。
　　　　　　(b)解答者が解答を変更した場合、正解となる確率Q(3)。
　　　　　　を考察せよ。

　　　（２）４択問題で、解答者が１つを選んだ後、出題者が間違っている
　　　　　　ものを１つ教えてくれる。
　　　　　　(a)解答者が解答を変更しなかった場合、正解となる確率P(4)。
　　　　　　(b)解答者が解答を変更した場合、正解となる確率Q(4)。
　　　　　　を考察せよ。

●ベイズの定理(pdfファイル)

　　問題１  次の確率を考察せよ。

　　　　(a)袋1に赤玉が3個、白玉が2個入っている。
　　　　(b)袋2に赤玉が8個、白玉が4個入っている。
　　　　(c)袋1と袋2が選ばれる割合は、1:2 とする。

　　　（１）赤玉が選ばれる確率
　　　（２）赤玉が選ばれたときに袋1から選ばれている確率
　　　（３）赤玉が選ばれたときに袋2から選ばれている確率
　　　（４）白玉が選ばれる確率
　　　（５）白玉が選ばれたときに袋1から選ばれている確率
　　　（６）白玉が選ばれたときに袋2から選ばれている確率

　　問題２  つぎの確率を考察せよ。

　　　　男子学生の割合　60%
　　　　女子学生の割合　40%
　　　　男子学生の80%が下宿　女子学生の50%が下宿している。

　　　　一人の学生に下宿しているかと聞いたとき、「そうです」と答えた。

　　　（１）下宿している学生の確率。
　　　（２）この学生が男子学生である確率。
　　　（３）この学生が女子学生である確率。

　　問題３  次の確率を考察せよ。

　　　　ある国である感染症の検査が行われた。(a)～(d)の場合が考えられ、
　　　　それぞれ

　　　　(a)感染している人が陽性となる確率が   p
　　　　(b)感染している人が陰性となる確率が   1-p
　　　　(c)感染していない人が陽性となる確率が q
　　　　(d)感染していない人が陰性となる確率が 1-q

　　　　とする。

　　　（１）ある人が検査を受けて陽性となる確率
　　　（２）検査結果が陽性のとき、感染している確率
　　　（３）検査結果が陽性のとき、感染していない確率

　　　　これは、検査結果（陽性、陰性）から原因（感染している。感染して
　　　　いない）を予想することになる。

　　問題４  つぎの確率を考察せよ。

　　　　A工場で製品を生産するときの不良率は2%、B工場で同じ製品を生産する
　　　　ときの不良率は3%である。A工場とB工場の製品を5:3の割合で出荷する。

　　　（１）ひとつの製品が不良品である確率。
　　　（２）不良品が見つかったとき、A工場で作られた製品である確率。
　　　（３）不良品が見つかったとき、B工場で作られた製品である確率。
　　　（４）ひとつの製品が良品である確率。
　　　（５）良品が見つかったとき、A工場で作られた製品である確率。
　　　（６）良品が見つかったとき、B工場で作られた製品である確率。

　　問題５  つぎの確率を考察せよ。

　　　　A工場で製品を生産するときの不良率は1%、B工場で同じ製品を生産する
　　　　ときの不良率は2%、C工場で同じ製品を生産するときの不良率は3%で
　　　　ある。A工場とB工場とC工場の製品を1:1:2の割合で出荷する。

　　　（１）ひとつの製品が不良品である確率。
　　　（２）不良品が見つかったとき、A工場で作られた製品である確率。
　　　（３）不良品が見つかったとき、B工場で作られた製品である確率。
　　　（４）不良品が見つかったとき、C工場で作られた製品である確率。
　　　（５）ひとつの製品が良品である確率。
　　　（６）良品が見つかったとき、A工場で作られた製品である確率。
　　　（７）良品が見つかったとき、B工場で作られた製品である確率。
　　　（８）良品が見つかったとき、C工場で作られた製品である確率。

確率の応用

●サイコロの確率(pdfファイル)

　　問題１ つぎの確率を考察せよ。
  
　　　（１）1個のサイコロを2回投げて、2回とも1の目がでる確率。
　　　（２）1個のサイコロを2回投げて、2回目に初めて１の目がでる確率。
　　　（３）1個のサイコロを2回投げて、少なくとも1回1の目がでる確率。

　　問題２  次の確率を考察せよ。

　　　1個のサイコロを3回投げる。 

　　　（１）1の目が0回でる確率。
　　　（２）1の目が1回でる確率。
　　　（３）1の目が2回でる確率。
　　　（４）1の目が3回でる確率。
　　　（５）3回とも1の目がでない確率。
　　　（６）3回目に初めて1の目がでる確率。
　　　（７）少なくとも1回1の目がでる確率。

　　問題３  次の確率を考察せよ。

　　　（１）2個のサイコロを投げるとき、1と2の目が出る確率。
　　　（２）2個のサイコロを投げるとき、目の和が8となる確率。

　　問題４  次の確率を考察せよ。

　　　1個のサイコロをn(≧1)回投げるとき、

　　　（１）出た目の最大値が4となる確率。
　　　（２）出た目の最小値が3となる確率。
　　　（３）出た目の最小値が3、最大値が4となる確率。

　　問題５
  
　　　1個のサイコロを4回投げて、少なくとも1回6の目がでる確率と、
　　　2個のサイコロを同時に24回投げて少なくとも1回2つとも6の目のでる
　　　確率は等しいかどうか考察する。

　　問題６ 

　　　1個のサイコロを繰り返し投げるとき、つぎの確率を考察せよ。

　　　（１）1の目が1回出たらやめるとする。5回目にやめる確率。
　　　（２）1の目が2回出たらやめるとする。5回目にやめる確率。
　　　（３）1の目が3回出たらやめるとする。5回目にやめる確率。
　　　（４）1の目が4回出たらやめるとする。5回目にやめる確率。
　　　（５）1の目が5回出たらやめるとする。5回目にやめる確率。

　　問題７

　　　4個のサイコロを投げたとき、目の出方を次のように表す。

　　　・4個の目がすべて異なるとき、1+1+1+1
　　　・2個の目が同じ、他の2個は異なるとき、2+1+1
　　　・2個の目は同じ、他の2個の目も同じとき、2+2
　　　・3個の目が同じ、他の1個は異なるとき、3+1
　　　・4個の目が同じとき、4

　　　4個のサイコロを投げたとき、目の出方の個数を考察せよ。

　　　（ａ）1+1+1+1となる出方の個数。
　　　（ｂ）2+1+1となる出方の個数。
　　　（ｃ）2+2となる出方の個数。
　　　（ｄ）3+1となる出方の個数。
　　　（ｅ）4となる出方の個数。

　　問題８

　　　4個のサイコロを同時に投げることを2回行う。1回目に出た目のどれかが、
　　　2回目に出た目の中にまた現れる現象を再出現象と呼ぶことにする。
　　　たとえば、１回目：1355　２回目：2356 の場合、3と5が2回目にも現れて
　　　いるので、再出現象が起こっている。
　　　再出現象が起こる確率を考察せよ。

●くじの確率(pdfファイル)

　　例題１.１　よくある問題

　　　10本のくじの中に当たりくじが4本入っており、同時に3本引くとする。
　　　（１）～（４）の確率を考察せよ。                       

　　　（１）3本とも当たりくじである確率。
　　　（２）2本が当たりくじ、1本がはずれくじである確率。
　　　（３）1本が当たりくじ、2本がはずれくじである確率。
　　　（４）3本ともはずれくじである確率。
　　　（５）少なくとも1本が当たりくじである確率。
　　　（６）少なくとも2本が当たりくじである確率。

　　例題１.２　意外な結論

　　　10本のくじの中に当たりくじが4本入っている。このくじを5本ずつ2つの箱
　　　A,Bに分け、箱A,Bからそれぞれ1本ずつくじを引く。
　　　（１）～（３）の確率を考察せよ。                       

　　　（１）箱Aの当たりくじが0本、はずれくじが5本、
    　　　  箱Bの当たりくじが4本、はずれくじが1本の場合、
　　　　　　少なくとも1本が当たりくじである確率。

　　　（２）箱Aの当たりくじが1本、はずれくじが4本、
      　　　箱Bの当たりくじが3本、はずれくじが2本の場合、
　　　　　　少なくとも1本が当たりくじである確率。

　　　（３）箱Aの当たりくじが2本、はずれくじが3本、
      　　　箱Bの当たりくじが2本、はずれくじが3本の場合、
　　　　　　少なくとも1本が当たりくじである確率。
　
　　例題２.１　当たりくじ１枚
  
　　　5枚のくじの中に1枚の当たりくじが入っている。
　　　このくじを3人で引くとする。
　　　次の条件の下で（１）～（４）の確率を考察せよ。                       
                                                                       
　　　（条件１）１回当たりくじがでたら終わりにする。     
　　　（条件２）一度引いたくじは元に戻す。
                                                                       
　　　（１）1番目に引く人が当たる確率。        
　　　（２）2番目に引く人が当たる確率。                  
　　　（３）3番目に引く人が当たる確率。                        
　　　（４）3人とも当たらない確率。                                  

　　例題２.２　当たりくじ１枚
  
　　　5枚のくじの中に1枚の当たりくじが入っている。
　　　このくじを3人で引くとする。
　　　次の条件の下で確率を考察せよ。

　　　（条件１）１回当たりくじがでたら終わりにする。
　　　（条件２）一度引いたくじは元に戻さない。

　　　（１）1番目に引く人が当たる確率。
　　　（２）2番目に引く人が当たる確率。
　　　（３）3番目に引く人が当たる確率。
　　　（４）3人とも当たらない確率。

　　例題２.３　当たりくじ１枚
  
　　　n(≧2)枚のくじの中に1枚の当たりくじが入っている。このくじをm(≦n)人
　　　で引くとする。次の条件の下で確率を求めよ。

　　　（条件１）１回当たりくじがでたら終わりにする。
　　　（条件２）一度引いたくじは元に戻す。

　　　（１）1番目に引く人が当たる確率。
　　　（２）2番目に引く人が当たる確率。
　　　（３）3番目に引く人が当たる確率。
　　　（４）k(4≦k≦m)番目に引く人が当たる確率。
　　　（５）m人とも当たらない確率。

　　例題２.４　当たりくじ１枚
  
　　　n(≧2)枚のくじの中に1枚の当たりくじが入っている。このくじをm(≦n)人
　　　で引くとする。次の条件の下で確率を求めよ。

　　　（条件１）１回当たりくじがでたら終わりにする。
　　　（条件２）一度引いたくじは元に戻さない。

　　　（１）1番目に引く人が当たる確率。
　　　（２）2番目に引く人が当たる確率。
　　　（３）3番目に引く人が当たる確率。
　　　（４）k(4≦k≦m)番目に引く人が当たる確率。
　　　（５）m人とも当たらない確率。

　　例題３.１　当たりくじが複数
  
　　　5枚のくじの中に2枚の当たりくじが入っている。
　　　このくじを3人で引くとする。
　　　次の条件の下で（１）から（４）の確率を考察する。

　　　（条件１）１回当たりくじがでたら終わりにする。
　　　（条件２）一度引いたくじは元に戻す。

　　　（１）1番目に引く人が当たる確率。
　　　（２）2番目に引く人が当たる確率。
　　　（３）3番目に引く人が当たる確率。
　　　（４）3人とも当たらない確率。

　　例題３.２　当たりくじが複数
  
　　　5枚のくじの中に2枚の当たりくじが入っている。
　　　このくじを3人で引くとする。
　　　次の条件の下で確率を求めよ。

　　　（条件１）１回当たりくじがでたら終わりにする。
　　　（条件２）一度引いたくじは元に戻さない。

　　　（１）1番目に引く人が当たる確率。
　　　（２）2番目に引く人が当たる確率。
　　　（３）3番目に引く人が当たる確率。
　　　（４）3人とも当たらない確率。

　　例題３.３　当たりくじが複数
  
　　　5枚のくじの中に2枚の当たりくじが入っている。
　　　このくじを3人で引くとする。
　　　次の条件の下で確率を考察せよ。

　　　（条件１）２回当たりくじがでたら終わりにする。
　　　（条件２）一度引いたくじは元に戻す。

　　　（１）1番目に引く人が当たる確率。
　　　（２）2番目に引く人が当たる確率。
　　　（３）3番目に引く人が当たる確率。
　　　（４）3人とも当たらない確率。

　　例題３.４　当たりくじが複数
  
　　　5枚のくじの中に2枚の当たりくじが入っている。
　　　このくじを3人で引くとする。
　　　次の条件の下で確率を考察せよ。

　　　（条件１）２回当たりくじがでたら終わりにする。
  　　（条件２）一度引いたくじは元に戻さない。

　　　（１）1番目に引く人が当たる確率。
　　　（２）2番目に引く人が当たる確率。
　　　（３）3番目に引く人が当たる確率。
　　　（４）3人とも当たらない確率。

　　例題４.１ 次の確率を考察せよ。
  
　　　一度引いたくじはもとに戻さないとする。

　　　（１）4枚のくじの中に3枚の当たりくじがあるとき、
　　　　　　1回引いて当たる確率。
　　　（２）8枚のくじの中に3枚の当たりくじがあるとき、
　　　　　　2回引いて少なくとも1回当たる確率。
　　　（３）8枚のくじの中に2枚の当たりくじがあるとき、
　　　　　　3回引いて少なくとも1回当たる確率。
　　　（４）8枚のくじの中に1枚の当たりくじがあるとき、
　　　　　　6回引いて少なくとも1回当たる確率。

　　例題４.２　次の確率を考察せよ。
  
　　　一度引いたくじはもとに戻すとする。

　　　（１）4枚のくじの中に3枚の当たりくじがあるとき、
　　　　　　1回引いて当たる確率。
　　　（２）8枚のくじの中に3枚の当たりくじがあるとき、
　　　　　　2回引いて少なくとも1回当たる確率。
　　　（３）8枚のくじの中に2枚の当たりくじがあるとき、
　　　　　　3回引いて少なくとも1回当たる確率。
　　　（４）8枚のくじの中に1枚の当たりくじがあるとき、
　　　　　　6回引いて少なくとも1回当たる確率。

●コインの確率(pdfファイル)

　　例題１
  
　　　（１）表と裏の出る確率が、1/2のコインは賭に使える。もし、表と裏の
　　　　　　出る確率が異なる場合、賭に使うにはどうすればよいか。
  
　　　（２）表と裏の出る確率が同じ1/2であるコインを使って、一方の確率が
　　　　　　1/3、他方の確率が2/3となる方法を考えよ。

　　例題２ 
  
　　　太郎と次郎がコイン投げのゲームをすることになった。コインを繰り返し
　　　投げ、表がでたら1、裏がでたら0とする。このとき、1と0の記号列が
　　　できる。ただし、1も0もでる確率は同じとする。

　　　（１）先に11がでたら太郎の勝ち、一方先に00がでたら次郎の勝ちとする。
　　　　　　太郎の勝つ確率は1/2、次郎の勝つ確率は1/2となる。

　　　（２）先に11がでたら太郎の勝ち、一方先に01がでたら次郎の勝ちとする。
　　　　　　太郎の勝つ確率は1/4、次郎の勝つ確率は3/4となる。

　　　（３）先に11がでたら太郎の勝ち、一方先に10がでたら次郎の勝ちとする。
　　　　　　太郎の勝つ確率は1/2、次郎の勝つ確率は1/2となる。

　　　（４）先に111がでたら太郎の勝ち、一方先に101がでたら次郎の勝ちと
　　　　　　する。
　　　　　　太郎の勝つ確率は2/5、次郎の勝つ確率は3/5となる。

　　　（５）先に111がでたら太郎の勝ち、一方先に010がでたら次郎の勝ちと
　　　　　　する。
　　　　　　太郎の勝つ確率は5/12、次郎の勝つ確率は7/12となる。

●色付き玉の確率(pdfファイル)

　　問題１  次の確率を考察せよ。

　　　袋に白玉が4個、赤玉が5個入っている。この袋から2個取り出す。

  　　（１）2個とも白玉である確率。                           
　　　（２）2個とも赤玉である確率。               
　　　（３）白玉が1個、赤玉が1個である確率。                           

　　問題２  次の確率を考察せよ。

　　　袋に白玉が4個、赤玉が5個、青玉が6個入っている。この袋から3個を
　　　取り出す。

  　　（１）青玉がない確率。
　　　（２）1個が青玉である確率。
　　　（３）2個が青玉である確率。
　　　（４）3個が青玉である確率。
　　　（５）3個が同じ色である確率。

　　問題３  次の確率を考察せよ。

　　　袋Ａに白玉が3個,赤玉が4個、袋Ｂに白玉が5個,赤玉が4個入っている。
　　　この袋Ａから2個の玉を取り出し、袋Ｂに入れる。          

  　　（１）袋Ｂから1個取り出すとき、白玉である確率。
  　　（２）袋Ｂから1個取り出すとき、赤玉である確率。
 　　 （３）袋Ｂから2個取り出すとき、白玉と赤玉である確率。
 　　 （４）袋Ｂから2個取り出すとき、白玉2個である確率。
 　　 （５）袋Ｂから2個取り出すとき、赤玉2個である確率。

　　問題４  つぎの確率を考察せよ。

　　（１）袋が3個（Ａ,Ｂ,Ｃ）あり、それぞれに玉が6個入っている。

　　　1つの袋には白玉が5個、赤玉が1個。
　　　2つの袋には白玉が4個、赤玉が2個。
　　　3つの袋には白玉が3個、赤玉が3個。

　　　2つの袋から(どの袋かわからない)それぞれ1個ずつ玉を取り出すと
　　　白玉が1個、赤玉が1個であった。残る袋から白玉を1個取り出す確率。

　　（２）袋が3個（Ａ,Ｂ,Ｃ）あり、それぞれに玉が6個入っている。

　　　1つ目の袋には白玉が5個、赤玉が1個
　　　2つ目の袋には白玉が4個、赤玉が2個
　　　3つ目の袋には白玉が3個、赤玉が3個

　　　2個の袋から(どの袋かわからない)それぞれ1個ずつ玉を取り出すと白玉が
　　　1個、赤玉が1個であった。残る袋から赤玉を1個取り出す確率。

　　問題５　つぎの確率を考察せよ。
  
　　（１）袋が3個あり、それぞれに玉が入っている。

　　　1つ目の袋には白玉が1個、赤玉が1個。
　　　2つ目の袋には白玉が2個、赤玉が1個。
　　　3つ目の袋には白玉が3個、赤玉が1個。

　　　3個の袋の置かれている順序はわかっていない。1つの袋から白玉が1個
　　　取り出され、もう1つの袋から赤玉が1個取り出された。残る袋から白玉を
　　　1個取り出す確率。

　　（２）袋が3個あり、それぞれに玉が入っている。

　　　1つ目の袋には白玉が1個、赤玉が1個、
　　　2つ目の袋には白玉が2個、赤玉が1個、
　　　3つ目の袋には白玉が3個、赤玉が1個

　　　3つの袋の置かれている順序はわかっていない。1つの袋から白玉が1個取り
　　　出され、もう1つの袋から赤玉が1個取り出された。残る袋から赤玉を1個
　　　取り出す確率。

　　問題６
 
　　　白玉10個と赤玉10個をひとつの箱に入れ、その中から白玉をひとつ取り
　　　出す確率は、1/2である。箱が2つありそれぞれの箱に玉をいくつ入れても
　　　よいとき、白玉をひとつ取り出す確率を考察せよ。

●勝負の確率(pdfファイル)

　　問題１　ジャンケンの確率
  
　　　n人がジャンケンをしたとき、勝負のつく確率p(n)、勝負のつかない確率
　　　q(n)を考察せよ。

　　問題２　

　　　勝負の確率を考察せよ。

　　　Aチームが勝つ確率がp、Bチームが勝つ確率はq(=1-p)とする。

　　　（１）2つの野球チームA,Bが3回戦をする。
　　　　　　Aチームがk勝3-k敗(k=0,1,2,3)となる確率。
　
　　　（２）2つの野球チームA,Bがn回戦をする。
　　　　　　Aチームがk勝n-k敗(k=0,1,…,n)となる確率。

　　　（３）2つの野球チームA,Bが7回戦をする。最初に4勝すれば打ち切り。
      　　　Aチームが4勝k敗(k=0,1,…,n-1)で勝つ確率。

　　　（４）2つの野球チームA,Bが2n-1回戦をする。最初にn勝すれば打ち切り。
      　　　Aチームがn勝k敗(k=0,1,…,n-1)で勝つ確率。

　　問題３　破産の確率

　　　（１）A,Bが、それぞれ1両,2両を持って賭をした。1回に1両ずつ賭ける。
　　　　　　勝てば相手の1両を得る。1回の賭けに勝つ確率が1/2のとき、
　　　　　　Aの破産する確率A(1,2)、Bの破産する確率B(1,2)を求めよ。
　　　　　　(a,b)でAがa両、Bがb両持っていることを表す。

　　　（２）A,Bが、それぞれ2両,2両を持って賭をした。1回に1両ずつ賭ける。
　　　　　　勝てば相手の1両を得る。1回の賭けに勝つ確率が1/2のとき、
　　　　　　Aの破産する確率A(2,2)、Bの破産する確率B(2,2)を求めよ。
　　　　　　(a,b)でAがa両、Bがb両持っていることを表す。

　　　（３）A,Bが、それぞれ1両,3両を持って賭をした。1回に1両ずつ賭ける。
　　　　　　勝てば相手の1両を得る。1回の賭けに勝つ確率が1/2のとき、
　　　　　　Aの破産する確率A(1,3)、Bの破産する確率B(1,3)を求めよ。
　　　　　　(a,b)でAがa両、Bがb両持っていることを表す。

　　　（４）A,Bが、それぞれ1両,4両を持って賭をした。1回に1両ずつ賭ける。
　　　　　　勝てば相手の1両を得る。1回の賭けに勝つ確率が1/2のとき、
　　　　　　Aの破産する確率A(1,4)、Bの破産する確率B(1,4)を求めよ。
　　　　　　(a,b)でAがa両、Bがb両持っていることを表す。

　　問題４　巴戦の確率

　　　3人の力士A,B,Cが巴戦を行い、2連勝した力士が優勝とする。
　　　3人の実力は互角とする。AとBがまず対戦するとき、A,B,Cの優勝する確率
　　　を考察せよ。

●幾何的確率(pdfファイル)

　　問題１　つぎの確率を考察せよ。
  
　　　（１）長さａの線分ＡＢ上に２点Ｐ，Ｑを互いに独立にとるとき、
　　　　　　距離ＰＱが長さｂ（＜ａ）以下になる確率。
      　　
　　　（２）ｘ_１＋ｘ_２＋ｘ_３＝ａ（ｘ_１＞０，ｘ_２＞０，ｘ_３＞０，ａ＞０）のとき、
　　　　　　長さｘ_１,ｘ_２,ｘ_３で三角形を構成する確率。
  
　　　（３）無限の平面上に任意の３つの点をとる。この３つの点が
　　　　　　鈍角三角形の頂点となる確率。

統計

●確率分布Ⅰ(pdfファイル)

　　１．確率変数と確率分布

　　　　１．１　確率変数と確率分布

　　　　１．２　確率変数の平均と分散

　　　　１．３　チェビシェフの不等式

　　２．同時分布

　　　　２．１　確率変数の独立

　　　　２．２　確率変数の和の平均と分散

●確率分布Ⅱ(pdfファイル)

　　３．離散分布

　　　　３.１　２項分布
　　　　３.２　ポアソン分布

　　４．連続分布

　　　　４.１　正規分布

●データの整理(pdfファイル)

●統計的推測Ⅰ(pdfファイル)

　　１．母集団と標本

　　２．標本平均

　　３．推定の考え方

　　　　３.１　母平均の推定

　　　　　　３.１.１　母標準偏差が既知の場合
　　　　　　３.１.２　母標準偏差が未知の場合

　　　　３.２　母比率の推定

●統計的推測Ⅱ(pdfファイル)

　　４．検定の考え方

　　　　４.１　母平均の検定

　　　　　　４．１．１　母分散が既知の場合
　　　　　　４．１．２　母分散が未知の場合

　　　　４.２　母分散の検定

　　　　４.３　母平均の差の検定

　　　　　　４．３．１　母分散が既知の場合
　　　　　　４．３．２　母分散が未知だが等しいと見なせる場合

　　　　４.４　２つの母集団の母分散の比の検定

　　　　４.５　適合度の検定

Excelの基礎と応用

●Excelの基礎Ⅰ(pdfファイル)

　　１．Excelの起動と終了

　　　　１．１　Excelの起動
　　　　１．２　Excelの終了

　　２．セルの操作Ⅰ

　　　　２．１　セルへデータ入力
　　　　２．２　セルのデータ削除
　　　　２．３　セルのデータ修正
　　　　２．４　セルのデータ上書き
　　　　２．５　セルのデータ複写
　　　　２．６　セルのデータ移動

　　３．ファイルへの保存と読込み

　　　　３．１　ファイルの保存
　　　　３．２　ファイルの読込み

　　４．ファイルの印刷

●Excelの基礎Ⅱ(pdfファイル)

　　５．セルの操作Ⅱ

　　　　５．１　セルへ数式入力
　　　　５．２　数式の複写
　　　　５．３　セルに罫線を引く
　　　　５．４　セル内の文字属性を変える
　　　　５．５　セルの幅と高さを変える
　　　　５．６　セルの結合

●Excelの基礎Ⅲ(pdfファイル)

　　６．行と列の操作

　　　　６．１　　行の複写
　　　　６．２　　行の削除
　　　　６．３　　行の挿入
　　　　６．４　　行の移動
　　　　６．５　　行の非表示
　　　　６．６　　列の複写
　　　　６．７　　列の削除
　　　　６．８　　列の挿入
　　　　６．９　　列の移動
　　　　６．１０　列の非表示

　　７．シート関連の操作

　　　　７．１　シート名の変更
　　　　７．２　シートの削除
　　　　７．３　シートの移動（同一ブック内）
　　　　７．４　シートの移動（異なるブック内）
　　　　７．５　シートの複写（同一ブック内）
　　　　７．６　シートの複写（異なるブック内）
　　　　７．７　他のシートのセル参照（同じブック内）
　　　　７．８　他のブックのセル参照

●Excelの基礎Ⅳ(pdfファイル)

　　８．関数関連

　　　　８．１　数学関数
　　　　　　SUM関数、SUMIF関数

　　　　８．２　計数関数
　　　　　　COUNT関数、COUNTA関数、COUNTIF関数

　　　　８．３　情報関数
　　　　　　ISBLANK関数、ISNUMBER関数、ISTEXT関数
　　　　　　ISERROR関数

　　　　８．４　論理関数
　　　　　　IF関数、AND関数、OR関数、NOT関数

　　　　８．５　統計関数
　　　　　　RANK関数

　　　　８．６　日付関数
　　　　　　TODAY関数、DATEDIF関数

　　　　８．７　検索関数
　　　　　　VLOOKUP関数

　　　　８．８　文字列処理関数
　　　　　　CLEAN関数、TRIM関数、SUBSTITUTE関数、CHAR関数、
　　　　　　FIND関数、MID関数、ASC関数、JIS関数

●Excelの応用Ⅰ(pdfファイル)

　　１．グラフ関連

　　　　１．１　グラフの作成
　　　　１．２　グラフの変更                                          
　　　　１．３　グラフデータの変更                                  
　　　　１．４　グラフの印刷                                          

　　２．データベース関連

　　　　２．１　検索と置換
　　　　２．２　抽出
　　　　２．３　並べ替え
　　　　２．４　データの重複除去

●Excel課題１(pdfファイル)

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