資料
数理パズルの考え方
数理パズル
数理パズルの考え方
●数学的帰納法(pdfファイル)
１．数学的帰納法とは
２．数学的帰納法（タイプ１）
問題２．１ 等式の証明
（１）n≧1の自然数nについて、つぎの等式を示せ。
1 + 3 + 5 + ・・・ + (2n-1) = n2
（２）n≧1の自然数nについて、つぎの等式を示せ。
1 + 2１ + 2２ + ・・・ + 2ｎ = 2ｎ＋１ - 1
（３）n≧1の自然数nについて、つぎの等式を示せ。
1・1! + 2・2! + ・・・ + n・n! = (n+1)! - 1
問題２．２ 郵便料金支払い問題
3円と5円の2種類の切手で8円以上のすべての郵便料金が支払える
ことを示せ。
問題２．３ ハノイの塔問題
一枚の板に３本の棒Ｘ,Ｙ,Ｚが立てられており、棒Ｘにはまん中に
穴のあいた円盤が下から上へ小さくなる順にn枚はめられているとする。
つぎの２つの条件にしたがって、棒Ｘにはめられたn枚の円盤を棒Ｙに
移すことができることを示せ。
条件１：円盤の移動は1枚ずつ棒から棒へ行う。
条件２：小さな円盤の上に大きな円盤を置いてはいけない。
３．数学的帰納法（タイプ２）
問題３．１ 集金問題
ある劇場の入場料は5000円とする。5000円札しかもっていない
n(≧1)人と、10000円札しかもっていないn人の合計2n人が
劇場前の広場で勝手に円形の輪を作って開場を待っているとする。
このとき、劇場の入口の受付人は、ある適当な人から時計回りに
集金すれば、釣り銭に不足することがないようにできることを示せ。
４．数学的帰納法（タイプ３）
問題４．１ フィボナッチ数列
フィボナッチ数列{f(n)}は、
f(1)=1, f(2)=2, f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n≧3)
で定義される。f(n)を求めよ。
問題４．２ 山分け問題
ｎ個の石の山が１つある。山を２つに分ける度に、２つの山の石の
数の積を求める。最後に総和f(n)を求めると、山の分け方によらず
同じ
f(n) = n(n-1)/2
であることを示せ。
５．雑題
●背理法(pdfファイル)１．命題の否定 １．１ 命題とは １．２ 命題の否定とは １．３ 命題の否定の作り方 ２．背理法 ２．１ 整数問題 ２．２ 実数問題 ２．３ 素数問題 ２．４ 図形問題●２値化(pdfファイル)
問題１ 周遊問題
a×b(a,bは自然数)の方眼紙で、左上隅のマス目から１匹の
カブトムシが出発して、すべてのマス目を一度ずつ訪問した後、
また最初に出発した左上隅のマス目に戻ってくることができるか
どうか考察する。
ただし、カブトムシは上下左右に隣接するマス目に進めるものとする。
問題２ 偶数と奇数
1からnまでの数を１列に並べ、数の間に＋か－を置いたとき、総和が0
になるものについて考察する。n(1≦n≦10)について、総和が0の個数を
求めよ。
問題３ 方眼紙被覆問題
６×６の方眼紙上で２つのマス目(塗られている)が切り取られている。
この方眼紙上の残りのマス目を、１×２方眼紙または２×１の方眼紙
(小正方形２個分の大きさ)で覆うことを考える。５つの場合について、
「覆える」か「覆えない」か判断せよ。ただし、１×２の方眼紙または
２×１の方眼紙は、この方眼紙の境界からはみ出すことなく、またどの
２枚の方眼紙も互いに重ならないものとする。
問題４ マス目塗り分け問題
１行、１列全部のマス目を反転(白→黒、黒→白)する操作のみが
許されている。４×４のチェス盤のマス目の中で、１個のマス目が
黒く塗られている。
すべてのマス目を白にすることはできないことを示せ。
問題５ 方眼紙被覆問題
６×６の方眼紙をつぎの図形Ａを９個用いて覆えるか調べよ。
ただし、この方眼紙の境界からはみ出すことなく、またどの２個の図形
も互いに重ならないものとする。図形Ｂ,Ｃ,Ｄについても考察せよ。
＜＜図形省略＞＞
問題６ 方眼紙被覆問題
５つの図形、Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄ,Ｅをひとつずつ組み合わせて、
４×５の方眼紙を覆えるか考察せよ。
＜＜図形省略＞＞
問題７ 配置換え問題
（１）1,2,3,4,5,6,7,8,9が一列に並んでいる。隣接する２数を交換する
操作を奇数回行って、9,8,7,6,5,4,3,2,1が得られないことを示せ。
（２）四角形の枠の中に1から15までの数字の書かれた駒が入っている。
駒1個分のスペースを利用して駒を上下左右に動かすことができる
とき、左図から右図が得られないことを示せ。
●１対１対応(pdfファイル)
問題１ ボールと箱
箱の数と、ボールの数との大小を比べるのに、箱の数とボールの数を
それぞれ数えてみなくてもよい方法を考察せよ。
問題２ 山の木数え上げ問題
山の木をすべて数え上げる能率のよい方法を示せ。
問題３ トーナメント問題
サッカー大会にｎチームが参加して、勝ち抜き戦で優勝チームを
決めることになった。引き分けはないものとして、全試合数を求めよ。
問題４ 分割問題
（１）5×6の盤を30枚の1×1の盤に分けるのに何回割らなければならか。
ただし、１回割るというのは１枚の盤を縦にまたは横に一筋に
割って２つに分けることをいい、２枚以上並べたり重ねたりして
一度に割るようなことはしないものとする。
（２）8×8の盤を64枚の１×１の正方形の盤に分けるのに少なくとも
何回割らなければならないか。ただし、１回割るというのは
１枚の盤を縦にまたは横に一筋に割って２つに分けることを
いい、２枚以上並べたり重ねたりして一度に割ってもよいとする。
問題５ 長方形・正方形の個数
（１）m×nのチェス盤に長方形（正方形を含む）は何個あるか。
（２）n×nのチェス盤を対角線に沿って半分にした図形に長方形
（正方形を含む）は何個あるか。
問題６ 最短経路の個数
4×4の碁盤状の町がある。左下隅交差点Ａから右上隅交差点Ｂまでの
最短経路を考察する。ただし、交差点間の距離は同じとし、点線部は
通れないとする。この町において、交差点Ａから交差点Ｂまでの
最短経路は何通りか考察せよ。
問題７ 箱分け問題
n個の（区別できない）ボールを、1番からk番までの番号のついている
（区別できる）箱に入れる方法を考察せよ。
問題８ 方眼紙横断問題
直線がm×nの方眼紙上を通るとき、何個のマス目（１×１の方眼紙）を
通過するか考察する。
●部屋割論法(pdfファイル)
問題１ ２点間の距離
（１）１辺が長さ１の正６角形の土地に、７個の小石を勝手にばらまく。
２つの小石間の距離が１以下のものが必ずあることを示せ。
（２）辺の長さが、4である正方形の土地に、任意にｎ本の木を植える。
木の距離がｄ以下になるような2本の木が存在することを示せ。
n=5のとき、d=2√2。
n=17のとき、d=√2。
（３）３×４の方眼紙上に、任意に７個の点を書く。
このとき、点の距離が√5以下になるような２個の点が存在する
ことを示せ。
（４）３×４の方眼紙上に、任意に６個の点を書く。
このとき、点の距離が√5以下になるような２個の点が存在する
ことを示せ。
問題２ 三角形の面積
１辺の長さが2の正方形の内部に任意に9個の点をとったとき、
その中の3点を頂点とするような三角形で、面積が1/2以下のものが
あることを示せ。
問題３
（１）1から2nまでの整数の中から任意にn+1個の数を選びだしたとき、
その中に差がnとなる２つの数の組が、必ずあることを示せ。
（２）1から2nまでの整数の中から任意にn+1個の数を選びだしたとき、
その中に一方が他方を割り切るような２つの数の組が、
必ずあることを示せ。
問題４
（１）2×5の盤がある。各マス目を白と黒のどちらかで塗る。
このとき、どのような塗り方をしても、少なくとも２つの列の
塗り方は同じであることを示せ。
（２）3×9の盤がある。各マス目を白と黒のどちらかで塗る。
このとき、どのような塗り方をしても、少なくとも２つの列の
塗り方は同じであることを示せ。
（３）3×7の盤がある。各マス目を白と黒のどちらかで塗る。このとき、
少なくともひとつの長方形の４つの角のマス目は、同色になって
いることを示せ。
問題５
10個の自然数がある。これらの中から２つの自然数を適当に選べば、
その差が9で割り切れるような２つの数が必ずあることを示せ。
問題６
1g以上8g以下の8種類の分銅の中から、重複なく勝手に5個選び出す。
このとき、互いに他の分銅を含まない２組のグループで、各グループに
含まれる分銅の総和が等しいものが存在することを示せ。
問題７
互いに異なる数から構成される数列a(1),a(2),...,a(n)を考える。
数列aの部分列b(1),b(2),...,b(s)で、b(1)>b(2)>...>b(s)となる
ものを長さsの減少列、数列aの部分列c(1),c(2),...,c(t)で、
c(1)<c(2)<...<c(t)となるものを長さtの増加列と呼ぶ。
n=10の場合、長さ4の減少列または長さ4の増加列が必ず存在することを
示せ。
問題８
サッカー大会に6チームが参加しました。この6チームの中には、
今までにお互いに対戦した3チームがあるか、または今までにお互いに
一度も対戦したことがない3チームがあることを示せ。
問題９
n個の自然数を一列に並べたとき、これらの中の連続して並んだ何個かの
数の和の中に、nの倍数となるものが必ずあることを示せ。
●漸化式(pdfファイル)
問題１ 漸化式
（１）1階と2階の間にはn段からなる階段がある。太郎君は、一度に
1段か2段しか上がることができない。このとき、階段の上がり方を
a(n)通りとすると、a(n)が満たす漸化式を求めよ。
（２）正整数nを1と2の和で表す方法b(n)について、
b(n)が満たす漸化式を求めよ。
（３）記号 +,- を合計n個一列に並べて、- は２個連続することのない
ようにしたものの個数c(n)について、c(n)が満たす漸化式を求めよ。
（４）集合{1,2,…,n}上の順列p(1)p(2)…p(n)で、|p(i)-i|≦1
(1≦i≦n)となる順列を考察する。
（５）白玉黒玉交換問題
a+b+1個のマス目がある。左のa個のマス目に白玉a個、右のb個の
マス目に黒玉b個を並べる。
つぎの４条件（ア）～（エ）を満たしながら白玉と黒玉を交換する
方法を考察する。
（ア）白玉、黒玉は同時に１個しか動かせない。
（イ）白玉は右にだけ、黒玉は左にだけ移れる。
（ウ）白玉は右隣の空いたマス目か黒玉を１個だけ飛び越え空いた
マス目に移れる。
（エ）黒玉は左隣の空いたマス目か白玉を１個だけ飛び越え空いた
マス目に移れる。
（６）畳の敷き方
2×nの部屋に1×2の畳を敷く方法f(n)について考察する。
問題２ 平面分割
平面をｎ本の直線によって分割する。
ただし、どの2直線も1点で交わり、どの3直線も1点で交わらないとする。
（イ）交点の数を求めよ。
（ロ）点で分けられた線分の数を求めよ。
（ハ）分けられた領域の数を求めよ。
（ニ）分けられた領域の内、開かれた領域と閉じられた領域の数を求めよ。
問題３ カタラン数
（１）凸多角形の分割
凸n角形を対角線で３角形に分割する方法(分割数f(n))を考察する。
（２）和の計算法
n個の数x１,x２,･･･,xｎの和 x１+x２+･･･+xｎにおいて、この和を計算して
いく順序をかっこを用いて表す方法を考察する。
（３）円周上の2n個の点を線分で結ぶ方法
円周上に2n個の点をとり、２つずつを互いに交わらないように線分で
結ぶ方法を考察する。
問題４ 平面分割・空間分割
（１）平面をｎ本の直線によって分割する。分けられた領域の数を求めよ。
ただし、どの2直線も1点で交わり、どの3直線も1点で交わらない
とする。
（２）空間をｎ枚の平面によって分割する。分けられた領域の数を求めよ。
ただし、どの2平面も平行でなく、どの3平面も1直線で交わらない
とする。
数理パズル
●幾何パズル○ピタゴラス定理(pdfファイル)
問題１ ピタゴラスの定理の証明 （１）直感的に分かる説明を考察する。 （２）幾何的証明を考察する。 （３）等積変形を利用する証明を考察する。 問題２ 三角関数の余弦定理を考察せよ。 問題３ １点から直線への距離を求めよ。 問題４ １点から平面への距離を求めよ。 問題５ ピタゴラス定理を３次元に拡張せよ。○重心・内心・垂心(pdfファイル)
問題１ 重心 三角形の重心は１点で交わることを示せ。 問題２ 内心 三角形の内心は、１点で交わることを示せ。 問題３ 垂心 三角形の垂心は、１点で交わることを示せ。○等積変形(pdfファイル)
問題１ 三角形の分割 （１）辺AB上の点Pを通り、三角形ABCを1対1に分割する直線を求める 方法を考察せよ。ただし、コンパスと定規は使用可。 ＜＜図形省略＞＞ （２）辺AB上の点Pを通り、三角形ABCを1対2に分割する直線を求める 方法を考察せよ。ただし、コンパスと定規は使用可。 ＜＜図形省略＞＞ 問題２ 次の図において、 （１）点Aを通る１本の直線で２等分する方法を考察せよ。 （２）辺AF上の点Pを通る１本の直線で２等分する方法を考察せよ。 （３）点Cを通る１本の直線で２等分する方法を考察せよ。 ＜＜図形省略＞＞ 問題３ 等積変形を利用して、ピタゴラスの定理を示す方法を考察せよ。 問題４ （１）三角形を長方形に等積変形する方法を考察せよ。 （２）長方形を長方形に等積変形する方法を考察せよ。 （３）２つの正方形と同じ面積を持つ１つの正方形を作成する方法を 考察せよ。○鏡像原理(pdfファイル)
問題１ （１）直線Ｌと２点Ａ,Ｂがあり、直線からの距離はそれぞれ異なっている。 点Ａから直線Ｌ上の点を通り点Ｂへ行く距離を最短にするように 直線Ｌ上の点Ｃの位置を求めよ。 ＜＜図形省略＞＞ （２）直角に交わっている壁がある。点Ａから出発して、壁ＰＱ，ＱＲの それぞれ１カ所を通り、点Ｂへ行く最短経路を求めよ。 ＜＜図形省略＞＞ （３）点Ｐを出発して線分ａ上の点Ｑ、線分ｂ上の点Ｒを通って点Ｐに戻る 経路で距離が最短になるものを見つけよ。 ＜＜図形省略＞＞ 問題２ 三角形ＡＢＣにおいて、ＡＢ上に点Ｑ、ＢＣ上に点Ｐ、ＣＡ上に点Ｒを 置く。このとき、ＰＱ＋ＱＲ＋ＲＰを最小とする位置Ｐ，Ｑ，Ｒと 最小値を求めよ。 ＜＜図形省略＞＞ 問題３ 三角形ＡＢＣの内部に点Ｐをとる。ＡＰ＋ＢＰ＋ＣＰを最小にする 位置Ｐを求めよ。 ＜＜図形省略＞＞○正５角形の作図(pdfファイル)
問題１ 定規とコンパスを使って、１辺の長さがｒの正５角形を描け。
問題２ 定規とコンパスを使って、正５角形の中心から正５角形の頂点への
長さがｒの正５角形を描け。
問題３ 定規とコンパスを使って、対角線の長さがｒの正５角形を描け。
問題４ 正５角形の性質をできるだけ調べよ。
（１）角度について
（２）長さについて
（３）三角形と四角形の個数について
○雑題(pdfファイル)
問題１ 相加平均、相乗平均、調和平均
aとbを任意の正の数とする。相加平均、相乗平均、調和平均は
つぎのように定義される。
相加平均： (a + b)/2
相乗平均： √ab
調和平均： 2ab/(a+b)
定規とコンパスを使って、これらの平均を作図せよ。
問題２ 単位分数の作図
単位分数 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... を定規とコンパスを使って、
作図せよ。
問題３ 円の分割
半径１の円をp:qに分割する小円を描け。
問題４ 橋渡し問題
（１）両岸の平行な川をはさんで、２点Ａ,Ｂがある。
この川に橋を渡して点Ａ,Ｂを結ぶ道が最短になるように
するには、橋の位置(点Ａ側の位置をＰ、点Ｂ側の位置を
点Ｑとする)をどこにすればよいか。
ただし、橋の幅を０、川に垂直に橋を渡すとする。
（２）Ａ'が川の中になる場合、点Ｐの位置を計算で求めよ。
●マッチ棒パズル(pdfファイル)
問題１ 導入問題
（１）マッチ棒で作った、ワインカップの中にさくらんぼが一つ
はいっている。２本のマッチ棒を移動して（さくらんぼは
そのままにして）さくらんぼをワインカップの外にだすには、
どうすればよいか。
（２）マッチ棒を１本移動して左向きの家を右向きにせよ。
（３）マッチ棒２本と石を移動して左向きの牛を右向きにせよ。
（４）マッチ棒３本と石を移動して左向きの魚を右向きにせよ。
問題２ マッチ棒数式パズル
（１）マッチ棒で作られた数式がある。１本取り去って正しい式にせよ。
（２）マッチ棒で作られた数式がある。１本移動して正しい式にせよ。
（３）マッチ棒で作られた数式がある。２本移動して正しい式にせよ。
問題３ マッチ棒漢字パズル
マッチ棒を２本追加して、漢字を作成せよ。
問題４ マッチ棒図形作成パズル
（１）マッチ棒１３本で、大きさの等しい６個の図形を作成せよ。
（２）マッチ棒１２本で、大きさの等しい６個の図形を作成せよ。
（３）マッチ棒９本で、同じ大きさの正方形３個と同じ大きさの
正三角形を２個作成せよ。
（４）マッチ棒１２本で、同じ大きさの正三角形８個と同じ大きさの
正方形を３個作成せよ。
問題５ マッチ棒移動
— —
12本のマッチ棒で作られた次の図を考える。 ｜ | ｜
図に正方形は5個ある。この図のマッチ棒を — —
いくつか移動する。ただし、移動後のマッチ棒は ｜ | ｜
孤立していない（両端が他のマッチ棒の端と — —
つながっている）とする。
（１）マッチ棒を４本動かして、正方形を２個にせよ。
複数の解を求めてもよい。
（２）マッチ棒を５本動かして、正方形を１個にせよ。
複数の解を求めてもよい。
問題６ マッチ棒除去
24本のマッチ棒で作られた次の図を考える。 — — —
図に正方形は14個ある。この図からマッチ棒を ｜ | ｜ |
いくつか取り除く。 — — —
ただし、マッチ棒は孤立していない ｜ | ｜ |
（両端が他のマッチ棒の端とつながっている） — — —
とする。 ｜ | ｜ |
— — —
（１）24本のマッチ棒のうち4本を取り除いて正方形を5個にせよ。
複数の解を求めてもよい。
（２）24本のマッチ棒のうち4本を取り除いて正方形を7個にせよ。
複数の解を求めてもよい。
問題７ 正方形破壊
40本のマッチ棒を図のように並べる。9本のマッチ棒を取り
除いて、すべての正方形の周囲を破壊する方法を４通り示せ。
ただし、マッチ棒の端と端は必ず隣り合うこと。
— — — —
｜ ｜ ｜ | ｜
— — — —
｜ ｜ ｜ | ｜
— — — —
｜ ｜ ｜ | ｜
— — — —
｜ ｜ ｜ | ｜
— — — —
問題８ 面積構成
（１）1本の長さを1cmとすると、10本のマッチ棒で4cm２の面積を
作ることができる。その方法を求めよ。複数の解を求めてもよい。
（２）1本の長さを1cmとすると、12本のマッチ棒で3cm２の面積を
作ることができる。その方法を求めよ。複数の解を求めてもよい。
問題９ 面積分割
マッチ棒３，４，５本で直角三角形を作る。
新たにマッチ棒２本追加して２等分することができる。
（１）新たにマッチ棒３本追加して２等分せよ。複数の解を求めてもよい。
（２）新たにマッチ棒４本追加して２等分せよ。複数の解を求めてもよい。
●図形再構成パズル(pdfファイル)問題１ 正方形再構成（２分割） 与えられた図形を２つに分割し、正方形に再構成せよ。 問題２ 正方形再構成（３分割） 与えられた図形を３つに分割し、正方形に再構成せよ。 問題３ 正方形再構成（４分割） 与えられた図形を４つに分割し、正方形に再構成せよ。 問題４ 正方形再構成 （１）つぎの３−ミノを切断し組み替えて正方形を作成せよ。 （２）３×３の方眼紙と４×４の方眼紙から２回の切断で５×５の 方眼紙を構成せよ。 問題５ 不思議な現象 （１）１辺が5の方眼紙を左図のように切り、右図のように 並べ替えたところ、面積が25から24に減ってしまった。 その理由を述べよ。 （２）１辺が8の方眼紙を左図のように切り、右図のように 並べ替えたところ、面積が64から65に増えてしまった。 その理由を述べよ。●図形分割パズル(pdfファイル)
問題１ ２分割問題
（１）つぎの図形を２つの合同な図形に、点線に沿って分割せよ。
＜＜図省略＞＞
（２）次の図を１本の直線で２等分せよ。
＜＜図省略＞＞
問題２ ３分割問題
（１）つぎの図形を３つの合同な図形に、点線に沿って分割せよ。
＜＜図省略＞＞
（２）与えられた三角形を同じ面積の３個の三角形に分割せよ。
問題３ ４分割問題
（１）つぎの図形を４つの合同な図形に分割せよ。
＜＜図省略＞＞
（２）つぎの図形を同じ広さに４分割せよ。
ただし、分割後の図形は他の３つの図形と線で接するとする。
問題４ ６分割問題
つぎの図形（正６角形）を６つの合同な図形に分割せよ。
問題５ 正方形分割問題
a×b方眼紙をできるだけ少ない正方形に分割する方法を考察せよ。
問題６ 方眼紙切断問題
2×2の方眼紙は１回のカットで2×2個の小正方形に分割できる。
3×3の方眼紙も１回のカットで3×3個の小正方形に分割できることを
示せ。
●コインパズル(pdfファイル)問題１ 軽いコインを１個検出 （１）コインが９個ある。このうち１個は軽いことがわかっている。 天秤を２回使って軽いコインを見つけだすにはどうすればよいか。 （２）コインが１２個ある。このうち１個は軽いことがわかっている。 天秤を３回使って軽いコインを見つけだすにはどうすればよいか。 （３）コインがｎ個ある。このうち１個は軽いことがわかっている。 一般に、３ｋ－１＋１≦ｎ≦３ｋの場合、天秤をｋ回使って１個の軽い コインを見つけだせる。 問題２ バネ秤問題 （１）１０個のコインからなる３つの山（Ａ,Ｂ,Ｃ）がある。 ３つの山のうち１つの山のコインはすべて偽物であるが どの山なのかわからない。 さて、本物の１個の重さは５ｇ、偽物の１個の重さは４ｇである。 バネ秤（重さを数値で示す）を１回使って、どの山が偽物か 見つける問題を考察する。 （２）１０個のコインからなる３つの山がある。３つの山のうち、 いくつかの山のコインはすべて偽物であるがどの山なのか わからない。 さて、本物の１個の重さは５ｇ、偽物の１個の重さは４ｇである。 バネ秤を１回使って、どの山が偽物か見つける問題を考察する。 問題３ １０個のコインを５本の直線上に置き、各直線上にそれぞれ４個ずつ あるような配置を複数示せ。ただし、コインは点と見なし、重ねること はできない。 問題４ 直径１のコインを１０×１０の箱に重ならないようにできるだけ多く 詰める方法として１０５個詰める方法がある。この詰め方をヒントに １０６個詰める方法を考察せよ。●等分パズル(pdfファイル)
問題１ ヨウカン等分問題 1cm間隔のものさしがある。長さ10cmのヨウカンをおかあさんが３人の 子供に公平に分割する方法を考えよ。 問題２ ケーキ等分問題 正方形のケーキのすべての面にチョコレートが塗られている。 チョコレートも含めて公平に３等分する方法を考えよ。 問題３ 砂金等分問題 Ａ，Ｂの２人が砂金を公平に分けることができる。すなわち、Ａが同じ 量と思う２袋の砂金に分け、Ｂが好きな袋を取ればよい。このように すれば、２人ともに満足する。では、Ａ，Ｂ，Ｃ３人の場合は、 どうすれば公平に（全員が砂金の１／３以上を得ていると考えている こと。また、少なくとも１／３をもらうことで満足する）分配できる だろうか。 問題４ 正三角形のカステラ （１）正三角形のカステラを３人に等分した。 ３人が同じ長方形の形で等分する方法を考察せよ。 （２）正三角形のカステラを４人に等分した。 ４人が同じ長方形の形で等分する方法を考察せよ。 問題５ カステラ３等分問題 均質な直方体のカステラを３人全員が得をしたと思うように分配したい。 そのようなうまい方法があるだろうか。 問題６ ミカン等分問題 ミカン箱のミカンを３人（Ａ，Ｂ，Ｃ）で分ける。 ただし、ミカン箱には３０個または３１個または３２個のミカンが 入っている。３人が集まれれば、じゃんけんをして分ければよい。 では、３人がじゃんけんをせずに公平に分配できるだろうか。●分数問題(pdfファイル)
問題１ トランプカード問題 （１）2枚のカードを積み重ねできるだけずらせたい。その長さを求めよ。 ただし、カード１枚の長さをL、重さをW、厚みは0とする。 （２）3枚のカードを積み重ねできるだけずらせたい。その長さを求めよ。 ただし、カード１枚の長さをL、重さをW、厚みは0とする。 （３）4枚のカードを積み重ねできるだけずらせたい。その長さを求めよ。 ただし、カード１枚の長さをL、重さをW、厚みは0とする。 （４）n枚のカードを積み重ねできるだけずらせたい。その長さを求めよ。 ただし、カード１枚の長さをL、重さをW、厚みは0とする。 問題２ 砂漠横断問題 （１）５台のトラックで、どのくらい離れたところまで到達できるか。 ただし、１リットルのガソリンで１０ｋｍ進むことができるとする。 条件(ａ)１台のトラックのガソリンタンクの容量：１００リットル 条件(ｂ)トラック間のガソリンのやりとり可能 条件(ｃ)ガソリンタンクが空になったところで停止してもよい。 （２）５台のトラックで、どのくらい離れたところまで到達できるか。 ただし、１リットルのガソリンで１０ｋｍ進むことができるとする。 条件(ａ)１台のトラックのガソリンタンクの容量：１００リットル 条件(ｂ)トラック間のガソリンのやりとり可能 条件(ｄ)最後の１台を除いて、出発地に戻る。 （３）400㍑のガソリンが使えるとする。１台のトラックで、どのくらい 離れたところまで到達できるか。 ただし、１リットルのガソリンで１０ｋｍ進むことができるとする。 条件(ａ)１台のトラックのガソリンタンクの容量：１００リットル 条件(ｅ)途中にガソリンを置くことができる。 条件(ｆ)出発地には、給油所があり満タンにできる。 問題３ エジプト式分数 （１）エジプト式分数は均等に分配するルールとして用いられたと 考えられている。その理由を考察せよ。 （２）分数 m/n、（１＜m＜n、mとnは互いに素）をいくつかの相異なる 単位分数の和に分解できることを示せ。 たとえば、３／７＝１／３＋１／１２＋１／８４ である。 （３）分数 m/n、（１＜m＜n、mとnは互いに素）を高々m個の相異なる 単位分数の和に分解できることを示せ。●小問集(pdfファイル)
問題１ 非図形関連小問集 （１）１０㍑はいるバケツで１１㍑を運ぶように言われた。 どうすればよいだろうか。 （２）戦国武将が枯れ草の生い茂る野原で敵に囲まれ火をかけられた。 このままでは焼き殺されてしまう。どうすればよいか。 （３）ＡとＢは、毎日それぞれの馬に乗り、早くゴールした馬を勝ちと するルールで競争をしていた。 ところが、ある日、遅くゴールした馬を勝ちとするルールに 変更された。そこで、スタートから２頭とも動かなくなり勝負が 決められなくなった。 この事態を打開するにはどうすればよいだろうか。 （４）コンテナを積んだトラックがトンネルを通ろうとしたが、 高さが２cm高くて通れない。どうしたら通れるようになるだろうか。 （５）金貨（10g）の入った袋が３袋ある。そのうち、１袋には偽金 （9g)が入れられている。見かけはそっくりだが、 秤を１回使うだけで偽金の袋を見つけたい。 どのようにすればよいか。 （６）表と裏の出る確率が、1/2のコインは賭に使える。もし、表と裏の 出る確率が異なる場合、どうすればよいか。 問題２ 図形関連小問集 （１）６本の直線を引いて、交点を１５個作れ。 （２）四隅に木がある正方形のプールがある。この４本の木を そのままにして、プールの面積を２倍にする方法を考えよ。 （３）一辺が９０ｃｍの紙から、縦２５ｃｍ，横２０ｃｍの紙を 作りたいとき、最高何枚とれるか。またその方法を示せ。 （４）でたらめに切った紙がある。この紙の面積を簡単に求める方法を 考えよ。